1. 임의의 점과 다른 한 점을 연결하는 직선은 단 하나뿐이다.
2. 임의의 선분은 양끝으로 얼마든지 연장할 수 있다.
3. 임의의 점을 중심으로 하고 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.
4. 직각은 모두 서로 같다.
5. 두 직선이 한 직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 2직각(180˚)보다 작으면 이 두 직선을 연장할 때 2직각보다 작은 내각을 이루는 쪽에서 반드시 만난다.
유클리드 기하학의 제5공준의 부정 공리를 취한 기하학 이론체계이다. “직선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 단 하나 존재한다”는 것이 제5공준인데, 이것은 다른 공리공준(公理公準)과 달리 복잡하고, 질적으로 다르다고 생각되어, 이것을 부정하는 기하학 이론 체계가 시도되었으며, 19세기에 이르러 니콜라이 로바체프스키 · 보여이 야노시 · 베른하르트 리만 등에 의해 성취되었다. 즉, 위의 공준이 부정되어도 이론적으로 그밖의 공리와는 아무 모순이 없다는 것이다. 비유클리드 기하학에서는 이 공리가 성립하지 않는 공간을 다룬다.
비유클리드 기하학은 타원기하학(elliptic geometry)과 쌍곡기하학(hyperbolic geometry)의 총칭이기도 하다. 대표적인 학자로는 베른하르트 리만, 카를 프리드리히 가우스 등이 있다. 리만은 “구 위에서는 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행하고 그 점을 지나는 직선은 없다”고 말했으며, 가우스는 반대로 “의구 위에서는 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행하고 그 점을 지나는 직선은 둘 이상이다”고 말했다. 이는 각각 타원 기하학과 쌍곡 기하학의 기초가 되었다. 삼각형의 내각의 합이 180도인 유클리드 기하학과는 달리 비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180도가 아니라 이보다 크거나(타원기하학) 작다(쌍곡기하학).
